Lagrangian and Elulerian description of Fluid flow

 എന്താണ് Eulerian frame ഉം Lagrangian frame ഉം

n

ഒരു കാർ റേസിംഗ് നടക്കുന്നു എന്ന് വിചാരിക്കുക. ആകെ 3 കാറുകളും 2km ദൂരവും. ഈ കാറുകൾഎപ്പോൾ, എത്ര വേഗതയിൽപോകുന്നു എന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ രണ്ടു വഴികൾ ഉണ്ട്. ഒന്നുകിൽ ഒരു ക്യാമറയുമായി ഈ കാറുകളുടെ പുറകെ പോകുക. അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു വഴി, 2km നിടക്ക് 5-6 പോയിന്റ്‌ select ചെയ്തു അവിടെ ഒരു ക്യാമറയുമായി ഇരിക്കുക. point ൽ ഈ കാറുകൾ എത്ര speed ൽ പോകുന്നു എന്നിങ്ങനെയുള്ള കാര്യങ്ങൾ പറയാം. ഇവിടെ ആകെ 3 കാറല്ലേ ഉള്ളൂ, ആദ്യത്തെ method follow ചെയ്യാൻ കാര്യമായ ബുദ്ധിമുട്ടില്ല. ഇനി ഒരു  100 കാർ ഉണ്ടെന്നു കരുതുക, ഏതാണ്ട് 50 km ഉം. ഹാവൂ!!! ഇവിടെ ഈ 50 km മുഴുവൻ ഇങ്ങനെ ഓരോ കാറിന്റെ പിന്നാലെ പായാൻ ഇത്തിരി ബുദ്ധിമുട്ടുണ്ട്. അല്ലേ അതുകൊണ്ട് അവിടെയവിടെയായി ഓരോ ക്യാമറയും വച്ച് ഇരിക്കുന്നതാവും ബുദ്ധി

ഇതുതന്നെയാണ് fluid ന്റെ കാര്യത്തിലും. ഒരു ചെറിയ volume of fluid ആണ് consider ചെയ്യുന്നത് എങ്കിൽ ഓരോ fluid particle നെ follow ചെയ്ത്, അവ ഓരോന്നിന്റെയും properties കൃത്യമായി പറയാൻ കഴിയുംപക്ഷെ ocean ന്റെയോ atmosphere ന്റെയോ കാര്യത്തിൽ ഇതല്ല സ്ഥിതി. അതുകൊണ്ട്, flow domain-ൽ ഏതെങ്കിലും പ്രത്യേക point flow properties പറയുന്നതാവും കൂടുതൽ പ്രായോഗികം.
ഇങ്ങനെ, ഓരോ particle നെയും follow ചെയ്ത് fluid flow properties explain ചെയ്യുന്ന രീതിയെ Lagrangian description എന്നും ഒരു പ്രത്യേക point fluid flow properties explain ചെയ്യുന്ന രീതിയെ Eulerian description എന്നും പറയുന്നു. Lagrangian description  ൽ ഓരോ particle നെയും follow ചെയ്യുന്നതുകൊണ്ട്, ഓരോ particle ഉം ഏതു വഴിയിലൂടെയൊക്കെയാണ് വരുന്നത് എന്ന് കൃത്യമായി അറിയാൻ കഴിയും. ഇങ്ങനെ ഒരു particle follow ചെയ്യുന്ന path നെ trajectory എന്നോ path line എന്നോ പറയുന്നു.

ഈ രണ്ടു രീതികളും geophysical flow properties explain ചെയ്യാൻ ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്. Atmosphere ന്റെയോ ocean ന്റെയോ case ൽ ഒരു fluid particle എന്നത്തിനു പകരം ഒരു പ്രത്യേക parcel fluid ആണ് consider ചെയ്യുന്നത്. Lagrangian description ൽ ഒരു material volume ഉം Eulerian description ൽ ഒരു control volume ഉം ആണ് എടുക്കുന്നത്. Control volume എന്നത് space ൽ ഫിക്സഡ് ആണ്. ആ ഫിക്സഡ് ബോക്സിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന fluid ന്റെ properties ആണ് നമ്മൾ അവിടെ പറയുക. എന്നാൽ material volume, flow അനുസരിച്ച് fluid ന്റെ കൂടെ മൂവ് ചെയ്യും.

താഴെ ചേർത്തിരിക്കുന്ന ചിത്രം ശ്രദ്ധിക്കുക.

nnn

                         leg_euler

Material volume (Lagrangian volume) is following the motion of the fluid while, Eulerian volume (control volume) is fixed in space.Material volume (Lagrangian volume) is following the motion of the fluid while, Eulerian volume (control volume) is fixed in space.

.nnnnn

ഇനി ഈ flow ലെ time അനുസരിച്ചുള്ള, pressure ചേഞ്ച്‌ കണ്ടുപിടിക്കണം എന്നുകരുതുക. അതായത് rate of change of pressure w.r.t time (dp/dt). ഇവിടെ dp/dt എന്നുപറയുന്നതാണ് Lagrangian derivative അഥവാ total / material / substantial derivative. Lagrangian derivative time ന്റെ മാത്രം function ആണ്, കാരണം നമ്മൾ ഓരോ parcel നെയും follow ചെയ്യുന്നുണ്ടല്ലോ. അതുകൊണ്ട് എവിടെ എന്നതിന്  പ്രസക്തിയില്ല, എപ്പോൾ എന്നത് മാത്രമേ നോക്കേണ്ടതുള്ളൂ. പക്ഷെ, Eulerian method ൽ നമ്മൾ, ഏതോ ഒരു fixed point ലെ pressure ആണ് measure ചെയ്യുനത്. അതുകൊണ്ട് ആ point എവിടെയാണ് എന്നതുകൂടി depend ചെയ്തിരിക്കും റിസൾട്ട്‌. അതായത് ഈ കേസിൽ pressure (or any other parameter) time ന്റെ മാത്രമല്ല, space ന്റെ കൂടി function ആണ്. അപ്പോൾ ഈ rate of change of pressure എന്നത് Eulerian method ൽ  എങ്ങിനെ വരും എന്ന് നോക്കാം.

Pressure space ന്റെയും time ന്റെയും ഒരു function ആണെന്ന് പറഞ്ഞല്ലോ (P(x,y,z,t)). അതുകൊണ്ട്, total rate of change of pressure w.r.t time എന്നത് 4 contribution ന്റെ sum ആയിരിക്കുമല്ലോ. അതായത്, x-direction ലെ change + y-direction ലെ change + z-direction ലെ change + time മാറുന്നത് അനുസരിച്ച്  ഉണ്ടാവുന്ന ചേഞ്ച്‌.

                                   leg_eul_der

n

ഇവിടെ, Eulerian derivative ഒരു fixed point ലെ derivative ആണല്ലോ, അതുകൊണ്ട് ഇതിനെ local derivative എന്നും പറയുന്നു. Advective term, parcel ന്റെ movement കൊണ്ട് ഉണ്ടാവുന്നതാണ്.

n

ഇനി ശ്രദ്ധിക്കേണ്ട ഒരു കാര്യം.

Meteorology യിൽ പലപ്പോഴും vertical coordinate, height നു പകരം pressure use ചെയ്യാറുണ്ടല്ലോ. അവിടെ vertical motion നെ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് dP/dt (pressure vertical velocity, ω)എന്നതാണല്ലോ. പക്ഷെ, ∂P/∂t എന്നത് ഏതോ ഒരു സ്ഥലത്ത് time മാറുന്നതനുസരിച്ച്, pressure നു ഉള്ള ചേഞ്ച്‌ ആണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്. ഇതിനെ pressure tendency എന്ന് പറയുന്നു. ഉദാഹരണം, ഒരു സ്ഥലത്തേക്ക് ഒരു cyclone approach ചെയ്യുന്നു എന്ന് കരുതുക.അപ്പോൾ അവിടെ പതുക്കെ pressure കുറഞ്ഞുകൊണ്ടിരിക്കുമല്ലോ. അതായത് അവിടെ ഒരു negative pressure tendency ഉണ്ടെന്നർത്ഥം.

n

m,

Bibliography

  • An Introduction to Dynamic Meteorology – J R Holton

  • Applied Atmospheric Dynamics – A H Lynch and J J Cassano

  • Lagrangian and Eulerian Representations of Fluid Flow: Kinematics and the Equations of Motion – James F. Price

 

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s